Perfecte en Superperfecte Schema's
Peter Smulders en Joop van Wijk
Om het effect van de balans in een parenschema te demonstreren wordt vaak een
model gebruikt met een sterk paar dat altijd een top haalt in een veld van
normale paren, die altijd gemiddelde resultaten halen. Soms wordt het sterke
paar vervangen door een zeer zwak paar, maar het idee is hetzelfde. Als daarbij
een schema gebruikt wordt met een perfecte balans komen er maar 2 scores voor, de
goede scores en de slechte scores. Met een niet zo perfect gebalanceerd schema
vertonen de goede en slechte scores een spreiding rondom het gemiddelde.
De volgende stap is natuurlijk een wedstrijd met twee sterke paren temidden
van gemiddelde paren. Zie bijvoorbeeld hier. De condities zijn gelijk. Gemiddelde
paren krijgen altijd gemiddelde resultaten, en sterke paren krijgen altijd een top.
Maar nu kan een top ook een gedeelde top zijn, en een nul een gedeelde nul, dus is
er wat variatie in de scorekaarten. We zullen dit even verder uitwerken voor een
perfect gebalanceerde Howell.
Laten we, om precies te zijn, eens kijken naar een Howell voor 4 tafels, dus
8 paren, en 7 ronden met 1 spel per ronde. We nemen aan dat de balans perfect is:
iedere combinatie van 2 paren speelt 3 spellen in gelijke windrichting, 3 spellen
in tegengestelde richting, en 1 spel tegen elkaar. Ieder spel wordt 4 keer
gespeeld dus de top is 6. Als het spel door de 2 sterke paren in tegengestelde
richting gespeeld werd krijgen ze ieder een 6 en hun tegenstanders een 0. Als de
2 sterke paren in dezelfde windrichting zaten hebben ze een gedeelde top van 5 en
hun tegenstanders 1. Maar het is interessanter om te kijken naar de scores van de
gemiddelde paren die niet tegen de sterke paren speelden. De 2 paren die het
spel in dezelfde richting speelden als de sterke spelers hebben pech. Ze krijgen
ieder maar 1 punt, want de sterke paren pikken 10 van de 12 beschikbare punten in.
Hun tegenstanders krijgen dientengevolge 5 punten, precies even veel als de sterke
paren! Een mooie illustratie van het feit dat paren die een spel in tegengestelde
richting spelen van jezelf je medestanders zijn. Tenslotte is er ook nog 1 spel
waarop de sterke spelers tegen elkaar speelden. Op dit spel krijgt iedereen een 3.
De score van de sterke paren wordt dus 3 x 6 + 3 x 5 + 1 x 3 = 36
bij een top van 7 x 6 = 42, dus goed voor 85.71%.
En de gemiddelde paren? Als we alle scores op een rijtje zetten moeten zij onder
elkaar verdelen:
6 scores van 0
12 scores van 1
18 scores van 3
6 scores van 5
In het ideale geval krijgen ze ieder dus 1 x 0 + 2 x 1 + 3 x 3 + 1 x 5 = 16
Het blijkt nu dat er Howell schema's zijn die deze eigenschap hebben maar ook
Howell schema's die dat niet hebben, maar niettemin toch perfect gebalanceerde
schema's zijn in de gebruikelijke zin des woords.
We geven van ieder een voorbeeld:
A)
8- 1 A 3- 6 D 2- 7 F 5- 4 G
8- 2 B 4- 7 E 3- 1 G 6- 5 A
8- 3 C 5- 1 F 4- 2 A 7- 6 B
8- 4 D 6- 2 G 5- 3 B 1- 7 C
8- 5 E 7- 3 A 6- 4 C 2- 1 D
8- 6 F 1- 4 B 7- 5 D 3- 2 E
8- 7 G 2- 5 C 1- 6 E 4- 3 F
'8- 1 A' betekent hier: paar 8 (NZ) speelt tegen paar 1 (OW), spel A, enz..
Hoe je nu ook de 2 sterke paren kiest uit de nummers 1 - 8. de gemiddelde
paren krijgen altijd een score van 16, te weten:
1 x 0 : directe ontmoeting met sterk paar.
2 x 1 : gedeelde nul, ofwel door spelen tegen sterk paar, of doordat beide
sterke paren in jouw windrichting speelden.
3 x 3 : de sterke paren speelden dit spel tegen elkaar, of zij speelden
in verschillende windrichtingen.
1 x 5 : beide sterke paren speelden in de richting tegengesteld van de jouwe.
B)
8- 1 A 6- 5 B 4- 2 C 7- 3 E
8- 2 B 7- 6 C 5- 3 D 1- 4 F
8- 3 C 1- 7 D 6- 4 E 2- 5 G
8- 4 D 2- 1 E 7- 5 F 3- 6 A
8- 5 E 3- 2 F 1- 6 G 4- 7 B
8- 6 F 4- 3 G 2- 7 A 5- 1 C
8- 7 G 5- 4 A 3- 1 B 6- 2 D
Nu scoren sommige paren 1 punt meer of minder dan het gemiddelde. Bijvoorbeeld, als
paar 1 en 2 de sterke paren zijn, dan blijkt de score van paar 5 te worden:
3 x 1 + 4 x 3 = 15. Ze krijgen weliswaar nooit een volle nul, maar halen ook geen
gedeelde top, met als gevolg 1 minder dan de score van 16 waar ze recht op hadden.
Merk op dat beide schema's een perfecte balans hebben zoals eerder gedefinieerd. De
score matrix is volkomen regelmatig, de kwaliteitsfactor is 100 en de standaard
deviatie is 0. Toch blijkt uit het beschouwde geval van 2 sterke paren dat schema A
beter in balans is dan B. Deze conclusie is moeilijk te accepteren als je er van
uitgaat dat beter dan perfect niet mogelijk is.
Wij stellen voor perfecte schema's van type A "superperfect" te noemen.
Of zulke schema's ook bestaan voor perfecte Howells met meer dan 4 tafels is een
open vraag. Voor 6 tafels hebben we er nog geen kunnen ontdekken.